日本の古典で学ぶ天文学（第２回）
原著 J. Keill, 蘭語訳 J.Lulofs
翻案著者
志筑忠雄、現代語訳・監修 上原貞治
第１回（前号）では、中心力による物体の運動の解説と証明として、ケプラーの第２法則の証明と、円運動の幾何学を扱った。また、「円軌道と楕円軌道における周期の一致のための定理」のための「第一の定理」を証明したが、「周期の一致の証明」自身は、本稿の当面の目標からははずれた脇道になるので、中途であるが以下省略ということにさせていただく。
今回は、いよいよ本流であるケプラーの第１法則（惑星の楕円軌道）から万有引力の法則の証明のため、楕円の幾何学的性質の証明にかかる。
５．第四の定理：楕円の焦点間距離配分の比例関係（全９段）（下編上巻「求心常経張本」より）
・［図］5-15]
［図5-15］第三紙（二）
SA：SK＝FA+SA：FS
図の解説は第９段にある。
第１段：外接円と楕円の比例関係
・[図5-5]
［図5-5］第二紙（一）
Sは楕円とその外接円の中心である。GIは楕円の長径（長さ2a）であり、外接円の直径である。DSは楕円の半短径で
ある。（以後、aを楕円の半長径とし、bを半短径とする）これにおいて、HK：HB＝FE：FC＝
SD：SA＝2b：2a。（図の左右のHKBのそれぞれにおいて成り立つ）2aは外接円の直径で
ある。ゆえに、MD：LA＝SM：SL＝2b：2a。
第２段：内接円と楕円の比例関係
・［図5-6］
［図5-6］第二紙（二）
GDは楕円の長径（2a）である。ASは楕円の半短径(b)であり、内接円の半径である。これにおい
て、FK：FC＝HI：HB＝SE：SG＝2b：2a。2bは内接円の直径である。
ゆえに、また、KC：IB＝FC：HB＝FK：HI。
また、たとえばSRを延長して、SL＝SDとなる点Lを定めると、RT：LO＝RT：PT＝ST：SO＝SR：SL＝(内接円半
径)：SL＝2b：2a。
第３段：出心線
・[図5-7]
［図5-7］第二紙（三）
Rは楕円の中心である。RC⊥IG。また、CD＝CS＝aとすると、点Sと点Dは２つの焦点である。ここで、RD あ
るいはRSの長さを「出心線」と呼ぶ。（今後、これをeで表す）半長径、半短径、出心線は直角三角形の各辺の関係にある。｛a2＝b2＋e2 ｝
第４段：中心からの距離の２乗の差
・[図5-8]
EA2－CA2＝AI2，(CA＝b）
［図5-8］第二紙（四）
ASは外接円の半径であり、楕円の半長径に等しい。DI⊥AS。Dは焦点の一つである。第１段によって、AG：AT＝2b：2a。
よって、GH：TS＝2b：2a。TS＝GE。ゆえに、
GH：GE＝2b：2a ･･･ ①
直角三角形の辺の関係から、
AH2＝GA2＋GH2。
第２段より、 AH＝AC＝b。 ゆえに、
AC2＝GA2＋GH2。 一方、
AE2＝GA2＋GE2
AE2－AC2＝GE2－GH2 ･･･ ②
①より、GE2－GH2：GE2＝a2－b2：a2
第３段により、a2－b2＝e2
GE2－GH2：GE2＝e2：a2 ･･･ ③
AS＝a。 ST＝GE。 DI⊥AS。 AI：AD＝ST：AS。
AI2：GE2＝e2：a2 ･･･ ④，
（GE2＝ST2，e2＝AD2，a2＝AS2 だから）
③、④より、
GE2－GH2＝AI2
②より、 AE2－AC2＝GE2－GH2
よって、 EA2－CA2＝AI2
ということがわかる。（点Eがどこにあってもこれが成り立つ）
第５段：平均距離との比例関係
・[図5-9]
AI：AV＝AE：a， （BAを「平均距離」という。これは半長径aに等しい）
［図5-9］第二紙（五）
VD⊥AE。 QM⊥TA。ここにおいて、２つの直角三角形 △AVDと△AIDは、斜辺を共有している。また、
△AVD∽△QMA。△AID ∽△STA。（AS＝AM）
ゆえに、AI：AV＝ST：MQ である。ST＝EGだから、
AI：AV＝EG：MQ ･･･ ①
また、EG：MQ＝AE：AM ･･･ ②， AM＝a
①、②より
AI：AV＝AE：a
第６段：焦点からの２直線の和は一定
・［図5-10］
ED＋FD＝2a
［図5-10］第二紙（六）
直線EFにおいて、EA＝FAとする。Eは物体がある点、Dは焦点、Aは楕円の中心である。AC＝bで AC⊥AD。
三平方の定理により、
CD2＝CA2＋AD2
ED2＝VD2＋VE2 ･･･
(甲)
FD2＝VD2＋VF2 ･･･
(乙)
VD2＝DA2－AV2 ･･･ ①
VE2＝AE2－(AV2＋２AV・
EV)， （ (AV＋EV)2＝AE2 だから）
第４段より、 AE2＝CA2＋AI2
VE2＝CA2＋AI2－(AV2＋２AV・
EV) ･･･ ②
①＋②より、
ED2＝a2＋AI2－２AV・AE
， （ED2＝VD2＋VE2･･･(甲)，a2＝DA2＋CA2，
２AV・AE＝２AV2＋２AV・
EV だから）
VD2＝DA2－AV2 ･･･ ①
（前に出た）
VF2＝
(VE＋２AV)2
これより、VF2＝VE2＋４AV2＋４AV・EV
②をこの右辺に代入すると、
VF2＝CA2＋AI2＋３AV2＋２AV・EV
･･･ ○
FD2＝VD2＋VF2 ･･･
(乙)
①＋○より、
FD2＝a2＋AI2＋２AV・AE
（a2＝DA2＋AC2 だから）
また、第５段から、
AI：AV＝AE：a。 だから、AV・AE＝AI・a
ED2＝a2＋AI2－２AI・a
FD2＝a2＋AI2＋２AI・a
だから、ED＝a－AI， FD＝a＋AI
これより、ED＋FD＝2a
第７段：２焦点からの直線の和は一定
・[図5-11]
DE＋SE＝2a
［図5-11］第二紙（七）
点Sと点Dは２つの焦点である。SE//DF、SF//DEである。だから、SE＝DF、SF＝DE。ゆえに前段によると、２つの焦
点から引いた楕円周上の一点への直線の長さの和は、
DE＋SE＝2a， DF＋SF＝2a
どの点でもこのようになる。楕円を描く方法は次に出てくる。
第８段：楕円周の垂線の所在
楕円周上の点の接線に対する垂線は、２焦点からの直線の間の角を二等分する
楕円の描法として、２焦点に１本ずつの針を立て、長径に等しい長さの糸を２つの針に付けて、１つの小柱で糸を引っ張り、糸を張ったま
ま、２つの針の外側を囲むように回すと、楕円を描くことができる。（第７段による）
［図5-12］
［図5-12］
図(1)の点Eのように、２つの焦点から等距離になっているときは、接線//DSなので、垂線EAが∠DESを２等分するのは明らか
である。
小柱が糸を引く力は、必ず焦点と小柱を結ぶ直線上にかかる。２焦点のそれぞれの反対方向に引く力の合力は、図(2)で点Bの方向に向
かうので、それはEBの方向になる。ゆえに小柱が（楕円を描く時に）動く方向はこれに垂直な方向で、接線RTの方向になる。
ここで、たとえ１つの焦点が、Gにあっても、Cにあっても、糸を引く力は常にEBの向きなので、垂線EAの向きは変わらない。
たとえば、円において、
［図5-13］
［図5-13］
大きい円の中心Kに対する大きい半径の円弧EDであっても、小さい円の中心Iに対する小さい半径の円弧ECであっても、小さい円の接
線RTを接線としてEKを垂線とすることについては同じである。あたかも、その中心の場所を知らないかのようである。大きい円でEまで来て、
あるいは小さい円でCまで来ると、その時に初めて違いがわかる。
前図[図5-12(2)]の点Eの接線も、焦点までの距離を知らないようなものである。だから、つねにRT//DSである。ゆえに、
その焦点がCにあろうがGにあろうが、それには関わらず、常に垂線が楕円周上の点から２焦点に引いた２直線の間の角を２等分することがわか
る。つまり、次の通りである。
・［図5-14］
［図5-14］第三紙（一）
Aは物体のある点である。ADを延長しその長さをASと等しくすると、前の図［図5-12(2)］と同様になる。だから、垂線AKが
∠SADを２等分することがわかるだろう。
第９段：焦点間距離配分
・［図5-15］
SA：SK＝FA＋SA：FS
［図5-15］第三紙（二）
Aは物体のある点である。点Sと点Fは焦点である。ここにおいて、前段によると、点Aでの接線の垂線は、２焦点への直線の間の角を２
等分する。ゆえに、AKを延長し、２つの垂線、SB⊥AK、FC⊥AKの足、それぞれ、点Bと点Cを定めると、直角三角形の相似関係から、
FK：SK＝FC：SB ･･･ ①
FC：SB＝FA：SA ･･･ ②
①、②より、 FK：SK＝FA：SA
ゆえに、 SA：SK＝FA：FK
よって、 SA：SK＝FA＋SA：FS， （FS＝FK＋SK）
第７段によると、この比は、 ＝2a：2e。 （焦点間距離は、出心線の２倍だから）
楕円の焦点等に関する幾何学の証明は、次回にもう少し続くが、ほどなくニュートンの力学、重力の議論と融合される。
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付録：原典資料紹介（その２）
志筑忠雄「暦象新書」(1798-1802)下編上巻「求心常経張本」「第四楕円出臍底分比例解」より図の多いページ
（『暦象新書』写本、早稲田大学古典籍総合データベースより）
（つづく）
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